सदस्यः:दिलिपः एक्का
केन्द्रियप्रवृत्तिमापनानि - मध्यमानम् , मध्याङ्कः , बहुलाङ्कश्च ।
केन्द्रियप्रवृत्तिमापनस्य अर्थः
केन्द्रीय प्रवृत्तिमापनं संपूर्ण समूहेन प्राप्ताङ्कानां प्रतिनिधिः भवति ।
केन्द्रियप्रवृत्तिमापनानाम् प्रकाराः
केन्द्रीय प्रवृत्तिमापनानां त्रयः प्रकारासन्त्ति । ते यथा - 1.मध्यमानम्
2.मध्यमाङ्कः
3.बहुलाङ्कश्च
एतेषां स्वभाव: गणना च संक्षिप्ततया प्रस्तूयते ।
मध्यमानम्
सामान्य गणितशास्त्रे औसतः इति अस्य एव सांखियकयां मध्यमानम् इति उच्यते
एतत् 'M' इति सङ्केतेन लिख्यते
फर्गुसन महोदयस्य मते - प्रदत्तानाम्- अङ्कानां योगे, प्राप्तस्य योगफलस्य प्रदत्त अङ्कानां संख्यया (N ) विभजने या संख्या प्राप्यते सः एव मध्यमानम् इति कथ्यते ।
मध्यमानस्य गणना
अव्यवस्थितदत्तांशस्य मध्यमानम् , M = ∑x / N
सूत्रस्थपदानां विवरणम् ।
M = मध्यमानम् ।
X = प्रदत्ता: अङ्का: ।
∑x = प्रदत्ताङ्कानां योगः ।
N = प्रदत्ताङ्कानां संख्या ।
उदाहरणम्– अधोनिर्दिष्टदत्तांशस्य मध्यमानं गणयता
25 ,28 ,30 ,35 ,16 ,18 ,20 ?
समाधनम् - M = 25+28+30+35+16+18+20 / 7 = 172 / 7 = 24.57
दीर्घविधि: मध्यमानम् -
M = ∑fx / N , M - मध्यमानम् , f - वर्गस्य आवृत्ति: ,
x - वर्गस्य मध्यबिन्दुः , N - आवृतेः योगः ।
लघुविधि: मध्यमानं
दत्तांशस्य परिमाणं बृहत् भवति चेत् मध्यमानगणनायां लघु- विधिः प्रयोक्त्तव्या ।
M = A.M ± ( ∑ fd /N) × C.I .
सूत्रस्थपदानां विवरणम्
M – मध्यमानम् ।
A.M - ऊहात्मकमध्यमानम् ।
f - प्रत्येकं वर्गविस्तारस्य आवृतिः ।
d - विचलनम् ।
f.d - आवृत्तिविचलनयोः गुणाङ्कः ।
N – दत्तांशानां संख्या ।
मध्यमाङ्कः
कस्यचित् दत्तांशस्य मध्यबिन्दुः एव मध्यमाङ्क: भवति । मध्यबिन्दुस्यं दत्तांशं समभाग द्वयं करोति । अयं Md इति सङ्केतेन लिख्यते ।
मध्यमाङ्कस्य परिभाषा
लिं क्विस्ट महोदय मते - अङ्कानां वितरणे यस्य बिन्दोः अध: 50 % अङ्का , उपरि 50% अङ्काः भवन्ति , सः बिन्दुः मध्याङ्का: इति उच्यते ।
मध्यमाङ्कस्य गणना
अव्यवस्थितदत्तांशस्य मध्यमाङ्कः ज्ञातव्यश्चेत् प्रदत्तान् अङ्कान् आरोहणक्रमे अथवा अवरोहणक्रमे व्यवस्थापयेत् । ततः परम् अङ्कानां संख्या (N) ज्ञातव्या । यदि N समसंख्या भवति तार्हि N+1 / 2 तमः अङ्कः मध्यमाङ्कः Md भवति । यदि N विषमसंख्या भवति तार्हि N/2 तमः अङ्कः मध्यमाङ्क Md भवति ।
उदाहरणम्
दत्तांशस्य मध्यमाङ्कं गणयत 12 ,13 ,15 ,11 ,16 ,10 ,8 ,7 ?
समाधनम्
दत्तांशस्य आरोहणक्रमः इत्थं गणयत ।7,8,10,11,12,13,15,16, दत्त्त अङ्कानां संख्या (N) 8 वर्तते । अतः N+1/2 तमः अङ्कः अर्थात् 8/2+1=5 अतः दत्तांशस्य मध्यामाङ्क Md = 12 ।
व्यवस्थितदत्तांशस्य मध्यमाङ्कः
Md = L+[N/2 - CF/fm] x C.I
सूत्रस्थपदानां विवरणम्
L - मध्यमाङ्क वर्गस्य निम्नसीमा ।
N - आवृत्तेः योगः ।
fm - माध्यमानवर्गस्य आवृत्तिः ।
c.f - मध्यमानवर्ग विस्तारस्य अधः विद्यमानसञ्चितावृत्तिः।
C.I - वर्गविस्तारस्य परिमाणम्।
बहुलाङ्कः
दत्तांशे या अङ्काः बहुवारं संभवति , सा अङ्काः तस्य दत्तांशस्य बहुलाङ्कः भवति ।
बहुलाङ्कस्य परिभाषा
क्रो महोदय मते - दत्तांशे यस्य अङ्कस्य आवृत्तिः अधिकवारं संभवति सोअङ्कः बहुलाङ्क: इति कथ्यते ।
अयं Mo इति सङ्केतेन लिख्यते ।
बहुलाङ्कस्य गणना
अव्यवस्थितदत्तांशस्य बहुलाङ्कः ज्ञातव्यश्चेत् प्रदत्त- अङ्कान् आरोहणक्रमे अथवा अवरोहणक्रमे व्यवस्थापयेत्। तत्र कस्य अङ्कस्य वारंवारम् आवृत्ति: भवति निरीक्षणं कृत्वा । अधिकवारम् आवृत्त संख्या एव तस्य दत्तांशस्य बहुलाङ्कः भवति ।
उदाहरणम्
दत्तांशस्य बहुलाङ्कं गणयत । 19,5,4,9,8,10,11,16,14,7,3,8,10,14,15,8,5,3
समाधानम्
एतस्य आरोहणक्रमे लिखामः चेत् ।
- 3, 3, 4, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 14 ,14, 15 ,16 ,19 ,
अत्र अधिकवारम् आवृत्ताङ्क: 8 वर्तते । अतः दत्तांशस्य बहुलाङ्कं: Mo = 8 भवति ।
व्यवस्थितदत्तांशस्य बहुलाङ्कः
यस्य वर्गविस्तारस्य आवृत्तिः अधिकतमं भवति , स वर्गविस्तारः बहुलाङ्क वर्गविस्तार: इति कथ्यते ।
Mo = L+[fo – f1 / 2fo – (f1 +f2 ) ] x C.I
सूत्रस्थापदानां विवरणम्
Mo – बहूलाङ्क: ।
L – बहुलाङ्कवर्गविस्तारस्य निम्नसीमा ।
fo - बहुलाङ्कवर्गस्य आवृत्तिः ।
f1 - बहुलाङ्कवर्गापेक्षम् पूर्ववर्गस्य आवृत्तिः ।
f2 – बहुलाङ्कवर्गापिक्षम् परवर्गस्य आवृत्तिः ।
C.I – वर्गविस्तारस्य परिमाणम् ।