सूक्ष्मभौतिकशास्त्रम्

उदजनपरमाणोः विद्युदणुःस्य तरङ्गफलानि विभिन्‍न-ऊर्जा-स्तरेषु। सूक्ष्मभौतिकशास्त्रः कणस्य अन्तरिक्षे यथार्थस्थानम् निश्चयेन निर्दिष्टुं न शक्नोति; केवलं विभिन्नेषु स्थानेषु तस्य सन्निधानस्य सम्भाव्यता प्रददाति। उज्ज्वलतराः प्रदेशाः तत्र विद्युदणुःस्य दृश्यत्वस्य उच्चतर् सम्भावनां सूचयन्ति।

सूक्ष्मभौतिकशास्त्रम् इति तत्त्वज्ञानम् अतिविशिष्टं भौतिक-सिद्धान्तं यत् द्रव्यानां प्रकाशस्य च आचरणं विवृणोति। तस्याः विचित्रविशेषाः प्रायः परमाणुवर्गे आधिक्ये अथवा तस्य अन्तर्गत् अतिसूक्ष्मपरिमाणे दृश्यन्ते। एषा सर्वे सूक्ष्मभौतिकविज्ञानस्य आधारः अस्ति, यस्य अन्तर्भूतानि सूक्ष्मरसायनशास्त्रम्, सूक्ष्मक्षेत्रसिद्धान्तः, सूक्ष्मतन्त्रज्ञानम् तथा सूक्ष्मसूचनाविज्ञानम् इति शाखाः सन्ति।

शास्त्रीयभौतिकशास्त्रेण न शक्यन्ते यानि बहूनि तन्त्राणि सूक्ष्मभौतिकशास्त्रेण वर्णनीयानि भवन्ति। सामान्यस्तरे (दृश्यमानस्तरः तथा पारम्परिक सूक्ष्मदर्शक-स्तरः) प्रकृत्याः बहवः पक्षाः शास्त्रीयभौतिकेन द्रष्टुं शक्यन्ते, किन्तु परमणु-उपपरमणु-स्तरे अतीव सूक्ष्मे तेषां व्याख्यया शास्त्रीयविधिः अपर्याप्ता भवति। परंतु सामान्यपरिमाणेषु शास्त्रीययन्त्रशास्त्रं, सूक्ष्मभौतिकशास्त्रेऽस्मात् समीकरणानुरूपेण समीकरणीय-अनुमानेन लभ्यते।

सूक्ष्मप्रणाल्योः बन्धितावस्था: ऊर्जा, संवेग, कोणीय संवेगादीनि परिमाणानि विविक्ताङ्कानि (अन्तरित-मूल्यानि) इति रूपेण सार्ध्येन परिमितानि भवन्ति; तदनुरूपं शास्त्रीयप्रणालिषु एते परिमाणानि अनवरत् मापन-प्राप्तानि भवितुम् अशक्नुवन्ति। सूक्ष्मप्रणालीनां मापनानि कणस्य च तरङ्गस्य च द्विविधगुणान् दर्शयन्ति (तरङ्ग-कण-द्वैतत्वम्), तथा पूर्णप्रारम्भिक-स्थिती-सङ्ग्रहः दत्तः स्यात् इतिानि यावत् परिमाणानि यथाशक्यं पूर्वमेव निर्वाचितुं न शक्यन्ते इति नियमः अस्ति (अनिश्चितत्व-सिद्धान्तः)।

सूक्ष्मभौतिकशास्त्रस्य उद्भवः क्रमेण जातः यतः किञ्चित् परीक्षणानि तेन स्पष्टीकर्तुं प्रचेष्टितानि, ये शास्त्रीयभौतिकेन सह सुसम्बद्धा न सन्ति। उदाहरणतः श्यामक-पदार्थस्य विकिरणसमस्या विषये मॅक्स् प्लांक् द्वारा यस्य समाधानं संवत्सरे १९०० प्रदत्तम् आसीत्, तथा एलबर्ट् आइन्स्टाइनस्य संवत्सरे १९०५ प्रकाश-विद्युत्क्रियायाः व्याख्यायाम् ऊर्जा-तस्य आवृत्तेः सम्बन्धं दर्शितम्। एते प्रारम्भिकाः सूक्ष्म-गवेषणाः, याः आरम्भतः "प्राचीन-सूक्ष्म-सिद्धान्तः" इति नाम्ना विख्याताः, मध्ये १९२०-युगस्य मध्यकालिनि नील्स् बोहर्, अर्विन् श्रेडिङ्गर्, वर्नर् हाइजेनबर्ग्, मॅक्स् बॉर्न्, पॉल् डायरेक् इत्यादिभिर् पूर्णतया सूक्ष्मभौतिकशास्त्रस्य निर्माणं समभवत्। आधुनिकसिद्धान्तः बहूनि विशेषतया विकसितानि गणितीय-रूपनिर्माणानि उपयुज्य विनिर्मितः अस्ति। तेषु एका-प्रकारे गणितीयेन वस्तुनः नाम "तरङ्गफलम्" इति यत् प्रायिक-आकांश-रूपेण कणस्य ऊर्जा, संवेगादीनां मापनफलस्य सम्भावनान् विषये सूचना प्रदत्तुं समर्थम् भवति।

रूचिः च मूलभूताः धारणा

सूक्ष्मभौतिकशास्त्रम् भौतिकप्रणालीनां गुणान् आचरणञ्च गणयितुं अनुमतिं ददाति। सामान्यतया एषः सुक्ष्मप्रणालीषु प्रयुज्यते: अणु, परमाणवः, उपपरमाणवः च। सहस्राणि परमाणवाः युक्तानि जटिलानि अणवः अपि सिद्धान्तेन विवृणितुं सक्षमानि सन्ति, तथापि मानवासु तस्य अनुप्रयोगः दार्शनिकान् समस्या यथा विग्नेर् मित्रस्य प्रश्नम् उत्पन्नयति, जगति सम्पूर्णे अपि तस्य प्रयोगः अहर्तु्यम् इति कल्प्यते। सूक्ष्मभौतिकशास्त्रेण कृताः भविष्यवाणयः अत्यन्त-उच्च-शुद्धतया प्रयोगेन सह परीक्षिताः सन्ति। उदाहरणार्थ, प्रकाशम् अव द्रव्येणैकसह संवादस्य सूक्ष्म-संशोधनं यत् सूक्ष्म-विद्युत-गतिकी इति ख्यातम्, तस्य प्रयोगानुसारं एका विद्युदणुः्-रस्य चुम्बकीय-गुणान् भविष्यन्ति इति पूर्वानुमानः प्रयोगेन एके भागे मध्ये १०^१२ इति न्यूनभावेन सह अनुकूलः प्रतीयते।

सिद्धान्तस्य एकं मूलभूतलक्षणम् एतत् यत् सः साधारणतः निश्चयेन न वदति किं भवति, किन्तु केवलं प्रायिकतान् ददाति। गणिततः प्रायिकता कोट्यते यदा एका जटिलस्य संख्या-परिमाणस्य परिमाणस्य वर्गं ग्रहीतं भवति; एतत् प्रायिक-आकांश इति कथ्यते। एषः नियमः मॅक्स् बॉर्न्-नाम्ना ज्ञातः; उदाहरणतः एकः सूक्ष्मकणः यथा इलेक्ट्रॉनः तरङ्गफलतः निरूप्यते, यस्य प्रत्येकस्य अन्तरिक्ष-बिन्दोः सम्भाव्य-आकांशः सम्बद्धः। तेषु आकांशेषु बॉर्न्-नियम् प्रयोज्यते यत् प्रत्ययितम् यदा प्रयोगेण स्थानम् परिक्षित्वा इलेक्ट्रॉनः कुत्रापि स्यात् इति प्रायिक-घनत्व-फलनं लभ्यते। एतत् सिद्धान्तस्य उत्तमम् परिणामम् एव; न तयोर् निश्चिततया उक्तुं शक्ता यत् इलेक्ट्रॉनः अपि कुत्र स्यात्। श्रेडिङ्गर् समीकरणं तु एकस्मिन् समय-बिन्दौ युक्तानि सर्वाणि सम्भाव्य-आकांश-सङ्ग्रहाणि अन्या-काले अपि कथं परिवर्त्यन्ते इति सम्बन्धयति।

गणितीय-नियमाणां फलतः एकः परिणामः मापनिय परिमाणेषु भविष्यवाण्यायाम् विनिमयः अस्ति। अनिश्चितत्व-सिद्धान्तस्य प्रसिद्धतम् रूपम् इदं वदति यत् कोऽपि सूक्ष्मकणः कथं योजितः स्यात् वा तस्य पर्येक्षणानि योजितानि स्यात्, तथापि तस्य स्थानस्य मापनस्य अपि तस्य संवेगस्य मापनस्य च यथार्थपूर्वकं द्वयोः समया निश्चित-पूर्वानुमानं करोतु इति असम्भवम्।

द्विद्वारि-प्रयोगस्य चित्रणम्

गणितीय-नियमाणां अन्यः परिणामः सूक्ष्म-हस्तक्षेपः इति दृश्यते, यस्य लघु-प्रयोगः द्वि-त्वच्-पृष्ठप्रयोगेण प्रकट्यते। मूल-रूपे अस्मिन् प्रयोगे एकः समन्वित-प्रकाश-स्रोतः, यथा लेजर्-किरणः, द्वौ समांतर-द्वारिकयोः युक्तां पृष्ठं प्रकाशयति, तथा द्वारिकयोः आत्प्रवाहितः प्रकाशः पृष्ठस्य पश्चात् स्थिते पटले दृश्यते। प्रकाशस्य तरङ्ग-स्वभावः द्वारिकयोः आत् प्रसरत् तरङ्गान् अन्तरक्रियया उज्ज्वल-तम-पट्टाश्च निर्माति — यत् यदि प्रकाशः केवलं शास्त्रीय-कणैः स्थितः स्यात् तर्हि न भविष्येत्। तथापि प्रकाशः पटले विशेषे बिन्दुषु कणरूपेण ग्रह्यते; अन्तरक्रियापट्टलम् एतेषु कण-घटनानां घनत्वपरिगणनया प्रकटते। अत्र दीयमान-प्रयोगाः ये द्वारिकयोः समीपं संवेदनकान् स्थापयन्ति तान् सूचयन्ति यत् प्रतितः शोधितः फोटोन् एका द्वारिकया एव याति (यथा क्लासिकल्-कणः), न च उभयत्र (यथा तरङ्गः)। एषा व्यवहृतिः तरङ्ग-कण-द्वैतत्वत इति लेखक्यते। प्रकाशात् अतिरिक्तं, इलेक्ट्रॉनः, परमाणवः च अणवः अपि द्वि-चित्रव्यवहारं तौ द्रष्टुम् समर्थाः यदा ते द्वि-त्वच्-प्रयोगे प्रेषिताः भवन्ति।

सुरङ्गिकरणस्य सरलीकृतं आलेख्यम् — एषा घटना या कणः बाधां अतिक्रम्य गतुं शक्नोति, यदपि तत्र शास्त्रीययन्त्रेण तत् असम्भवम् इति सिद्धम्।

अन्योन्यस्सूक्ष्म-गैरशास्त्रीय-घटना अस्ति "कणस्य सुरङ्गिकरणम्" — कणः कस्यचित् संभाव्य-बाधायाः विरोधे गतः तदा सः तां अतिक्रम्य तानि पारयितुं शक्तः भवति यद्यपि तस्य गतिज-ऊर्जा तस्य बाधायाः उच्चतम् मूल्येभ्यः न्यूना अस्ति। शास्त्रीययन्त्रेऽस्मिन् दृष्टावे कणः बाधायाम् विधृतः स्यात्। सुरङ्गिकरणस्य परिणामाः बहवः महत्वपूर्णाः सन्ति, यथा विकिरण-द्विघटनम्, तारक-नाभिकीय-संश्लेषणम्, तथा उपकरणानि यथा स्क्यानिङ्ग् टन्नलिङ् सूक्ष्मदर्शकः, टन्नल् डायोड्, टन्नल्-क्षेत्रप्रभाव-ट्रान्जिस्टर् च सम्भवन्ति।

यदा सूक्ष्मप्रणाल्यः परस्परम् अन्तरक्रियन्ते, तर्हि परिणामः सम्भवतः सम्बन्धपुटः — एतेषां गुणाः परमपर्यन्तः इतरेषां सह इत्यात् यत् समग्रस्य वर्णनम् केवलं अंश-स्वरूपेण न सम्भवः। अर्विन् श्रेडिङ्गर् एतत् सम्बन्धपुटम् “… सूक्ष्मभौतिकशास्त्रस्य लक्षणीय-लिङ्गम्, यत् तस्य समग्रं शास्त्रीयविचार-रेखातः प्रस्थानं अनिवार्यम् करोति” इति उक्तवान्। सम्बन्धपुटः सूक्ष्म-सङ्गणकस्य साहाय्यं करोति तथा सूक्ष्म-सम्प्रेषण-प्रणालीनि यथा सूक्ष्म-कुञ्जिका-वितरणम् तथा अतिगहन-घन-लेखनम् इत्यादिषु उपयुक्तानि। समन्यवष्टि-सांकेतिक-दोषस्य विपरीतं, सम्बन्धपुटेन प्रकाशेण शीघ्रं सञ्चारणस्य संकेताः प्रेषयितुं न शक्यते, इत्यत्र "ना-संप्रेषण-नियमः" दर्शितः अस्ति।

सम्बन्धपुट् द्वारा अन्यम् अपि सम्भवम् उद्घाट्यते — "गूढपरिमाणान्" परीक्षायै प्रयोज्यन्ते, यानि कल्पिताः सम्पत्तयः क्वथञ्चित् सैवं मूलभूततरः स्यात् येभ्यः सूक्ष्मसिद्धान्तात् अधिकं निर्देशिताः भविष्यन्ति। बेल्-सिद्धान्तेन विशेषतया ये नतिजाः प्राप्ताः तानि दर्शनानि सूचयन्ति यत् बहवः प्रतिपादन-प्रकाराः एतेषां गूढपरिमाण-तत्त्व-तत्त्वानां सह सुसंगताः न भवन्ति। बेल्-प्रयोगानाम् बहवः क्रियाः सन्ति यैः स्थानीय-गूढपरिमाण-सिद्धान्तस्य नियत-प्रतिबन्धा निषिद्धाः सन्ति इति दर्शितम्।

एतानि संकल्पनान् गणनया अधिकम् विवेचनं कृत्वा बहु-तरिकाभिः विस्तरितुं न शक्यते; सूक्ष्मभौतिकशास्त्रस्य अवगमने केवलं जटिल-सङ्ख्यायाः कल्पनम् एव न, परन्तु रेखीय बीजगणितम्, अवकलन-समीकरणानि, समूह-तत्त्वश्चान्ये च विस्तीर्ण-विषयाः अपेक्षिताः। अतः अस्य लेखस्य शेषे गणितीयरूपेण सूक्ष्मभौतिकशास्त्रस्य रूपनिर्देशनं तथा कतिपय उपयोगप्रद-उदाहरणानां विवेचनं प्रयोज्यते।

गणितीयरूपनिर्माणम्

गणितोपयुक्तेऽनुशासने सूक्ष्मभौतिकशास्त्रे कस्यचित् सूक्ष्मप्रणाल्याः अवस्था एकः सदिशः ψ यत् (एकस्मिन् पृथक्त्वेन विभाज्ये) जटिल-हिल्बर्ट्-स्थानस्य सदस्यः भवति। अस्य सदिशस्य हिल्बर्ट्-स्थानस्य अन्तः-उत्पादेण सममितिः अस्ति, यथा ⟨ψ,ψ⟩ = १ इति-नियमः धार्यते, तथा अस्य सदिशः एकाङ्क-परिमाणस्य जटिलसंख्यया परिमार्ज्यते केवलम्, तेन स्पष्टं यत् ψ तथा e^{iα} ψ इत्येकेवं तथैव भौतिक-प्रणालीं प्रदर्शयतः। अन्यथा वदेत् — संभाव्य-स्थितयः हिल्बर्ट्-स्थानस्य प्रोजेक्टिव्-स्थलस्य बिन्दवः।

हिल्बर्ट्-स्थानस्य विषमत्वं प्रणालीकृतस्य विषयस्य प्रकारेण निर्भरति— उदाहरणतः स्थानं च संवेगं निरूपयितु हिल्बर्ट्-स्थानं चतुः वर्गसम्-सम्यक्-नियत-समुच्चयः L^२(ℂ) इति रूपेण भवति, यदा एकेन प्रोटोनस्य स्पिन्-स्थितेः हिल्बर्ट्-स्थानम् कृत्वा तस्य स्थानं केवलं द्विमितीय-जटिल- सदिशस्थानम् ℂ² इति भवति यत्र सामान्य-आन्तःउत्पादः प्रयुज्यते।

रुचिकी-परिमाणानि — स्थानम्, संवेगः, ऊर्जा, स्पिन् इत्येनि परिचालकैः (ऑब्जरवेबल्स्) निरूपितानि भवन्ति। एते परिचालकाः हरमिटीयाः (स्व-समरूपाः) रीत्या भवन्ति। कदाचित् क्वण्ट्-स्थितिः कस्मिंश्च परिचालकेऽपि स्व-निर्देशकः (एग्जीन्-निदर्शकः) भवेत्, तदा सा अवस्था स्व-स्थिति इति कथ्यते, तथा तस्य सह सम्बन्धितः स्व-मूल्यम् परिचालकस्य तस्यावत् मानम् भवति। सामान्यरूपेण क्वण्ट्-स्थिति‌ः स्व-स्थितीनां रेखीयसम्बन्धेन सञ्चीयते, यस्मिन् तानि "सुपरपोजीशन" इतिवक्तव्यम्। यदा कस्यचित् परिचालकस्य मापनं क्रियते तदा परिणामः तस्य स्व-मूल्यानां मध्ये एकः भवति, यः प्रायिकता-बॉर्न्-नियमेन निर्दिश्यते: सरल-केसे स्व-मूल्य λ अल्पद्वीपकः भवति तदा सम्भाव्यता |⟨λ→,ψ⟩|^२ इति अभवत्, यत्र λ→ तस्य सम्बन्धितः एकक-दीर्घता-स्व-निदर्शकः अस्ति। अधिकसामान्येऽवलम्बे जब स्व-मूल्य बहुविध (डीजेनेरेटिव्) भूत्वा तदा सम्भाव्यता ⟨ψ, P_λ ψ⟩ इति प्रकल्प्यते, यत्र P_λ तस्य सम्बन्धित-स्व-स्थानायाः प्रक्षेपकः अस्ति। निर्बाध-निरन्तर-केसे अस्याः सूत्राणि सम्भाव्य-घनत्व-फलनि प्रदास्यन्ते।

कालपरिवर्तनम्

क्वण्ट्-स्थितेः कालपरिवर्तनम् श्रेडिङ्गर्-समीकरणेन विवृणोति:

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t)=H\psi (t).$$अत्र H नाम ह्यामिल्टोनियनः, यः समग्र-ऊर्जायाः परिचालकः अस्ति, तथा ℏ इति प्लाङ्क् परिणतः स्थिराङ्कः अस्ति। इ ℏ इति गुणकः प्रस्तोता यतः यदा क्वण्ट्-प्रणालीः शास्त्रीयप्रणालीतया समीपं अनुनीयते तर्हि ह्यामिल्टोनियनः शास्त्रीय-ह्यामिल्टोनियन-रूपे परिवर्त्यते; अस्य प्रकारे अनुकूलकरणं 'संबन्धतासिद्धान्तः' इति कथ्यते।

अस्मात् अवकलन-समीकरणस्य समाधानम् अस्ति

$$\psi (t)=e^{-iHt/\hbar }\psi (0).$$अत्र U(t) = e^{-i H t / ℏ} इति परिचालकः काल-परिवर्तन-परिचालकः वदति, यः यूनिटरी-गुणधर्मं वहति। एषः कालपरिवर्तनः निश्चिततया नियोज्यते इति — यदि प्रारम्भिक-क्वण्ट्-स्थिति ψ(०) ज्ञाता स्यात् तर्हि सर्वस्य अनन्तकालपर्यन्तं ψ(t) इति अवस्था निश्चितरूपेण निर्दिष्टा भवति।

चित्रम् १: उदजनपरमाणोः विद्युदणुःस्य तरङ्गफलेभ्यः सम्बद्धानि सम्भाव्य-घनत्वानि, यासु निश्चिता ऊर्जास्तराः सन्ति (चित्रस्य ऊर्ध्वात् अधः प्रवृत्तिः — न = १, २, ३, …) तथा कोणीय-संवेगा वामात् दक्षिणं वृद्धयन्ते (वामात् दक्षिणं — स, प, ड, …)। अधिकं सङकृष्टाः प्रदेशाः स्थानमापनकाले अधिकं सम्भाव्य-घनत्वं सूचयन्ति। एते तरङ्गफलाः प्रत्यक्षरूपेण क्लासिकल्-भौतिके ध्वनिसंवेग-मोडानां क्लैड्नी-चित्राणां तुल्याः सन्ति तथा एताः कंपन-मोडाः अपि सन्ति, येषु तीव्रा ऊर्जा विद्यते अतः निश्चिता आवृत्ति आस्ते। कोणीय-संवेगः च ऊर्जा च क्वण्टीकृतानि भवन्ति तथा केवलं विविक्त-मूल्यानि स्वीकुर्वन्ति, यथा ध्वनिषु अनुनाद-आवृत्तयः अपि तथैव भवन्ति।फलकम्:Pb

काचित् तरङ्गफलानि यानि प्रायिक-घनत्व-वितरणानि कालतः स्वतन्त्राणि भवन्ति, यथा ह्यामिल्टोनियनस्य स्व-स्थितयः (एग्जीन्-स्थितयः) — बहवः ताः प्रणालयः ये शास्त्रीययन्त्रे गतिशीलतया निरूप्यन्ते, सूक्ष्मभौतिके स्थिरतरङ्ग-फलैः चित्रिताः स्युः। उदाहरणार्थ, एकः इलेक्ट्रॉनः अनु-उत्तेजित-परमाणौ क्लासिक्-चित्रे वर्तुले आचरति इति कल्प्यते, परन्तु सूक्ष्मभौतिके सः केन्द्रस्य परिवेष्टितः स्थिरतरङ्ग-फलः इति वर्ण्यते। यथा एक-उदजनपरमाणोस् अनुत्तेजितावस्थायां s-आवर्त-तरङ्गफल-समरूपः अस्ति।

श्रेडिङ्गर् समीकरणस्य विशिष्ट-एनालिटिक् समधानानि केवलं कतिपय सुलभ-संरचनात्मक ह्यामिल्टोनियनान् (उदा. क्वण्ट्-हार्मोनिक्-आवृत्तकारिन्, द्रव्यम्-खण्डे पार्टिकल्, द्वि-उदजन-आयनः, उदजनपरमाणुः) अपि लभ्यन्ते। तथापि हीलियम् परमाणुः — यत्र द्वे विद्युदणुः् एव सन्ति — अपि पूर्णतया समाहार-रूपेण ज्ञातुं न शक्यते।

किन्तु अनुपात-समाधान-तन्त्राः उपलभ्यन्ते। एकः पद्धतिः 'विक्षेप-तत्त्वम्' इति यस्मात् सरल-मॉडल्-ह्यामिल्टोनियनस्य विश्लेषणी-फलात् अधिक-जटिल-मॉडल् हेतु फलम् समाश्रित्य लभ्यते (उदा. दुर्बलः संभाव्यता-ऊर्जा-परिमाण-योजकः)। अन्यः सन्निकटन-विधिः तेषु प्रणालिषु प्रयुज्यते यत्र सूक्ष्म-प्रवृत्तयः शास्त्रीय-चालेन केवलं अल्प आभेदांशमात्रम् ददुः; तदा क्लासिकल्-गतेः राशीन् आधारेण एते गणयितुं शक्यते।