संभाव्यता[सम्पादयतु]

दैवस्य पासा - सांख्यिकीसहितं संभाव्यतायाः रहस्यमुक्तीकरणम्[सम्पादयतु]

आमुख:[सम्पादयतु]

संभाव्यता सांख्यिकीक्षेत्रे एकः मौलिकः अवधारणा अस्ति । अनिश्चिततायाः परिमाणनिर्धारणे उपलब्धदत्तांशस्य आधारेण सूचितनिर्णयस्य च महत्त्वपूर्णां भूमिकां निर्वहति । अयं निबन्धः संभाव्यतायाः सिद्धान्तेषु, तस्याः अनुप्रयोगेषु, सांख्यिकीयविश्लेषणे तस्य महत्त्वं च गहनतया ज्ञापयति ।

संभाव्यतां अवगन्तुम्:[सम्पादयतु]

संभाव्यता गणितस्य शाखा अस्ति या घटनानां सम्भावनायाः विषये वर्तते । एतत् कस्यापि घटनायाः सम्भावनायाः वर्णनार्थं 0 तः 1 पर्यन्तं संख्यात्मकं मूल्यं नियुक्तं करोति । 0 इत्यस्य संभाव्यता असम्भवघटनाम् सूचयति, यदा तु 1 इत्यस्य संभाव्यता निश्चितघटनायाः प्रतिनिधित्वं करोति । संभाव्यतासिद्धान्तस्य मूलभूताः स्वयंसिद्धाः, यथा योगगुणननियमाः, अनिश्चितघटनानां परिमाणीकरणाय, अनिश्चितघटनानां विषये तर्कस्य च रूपरेखां प्रददति|

जीवनस्य भव्यनाट्यगृहे यत्र अनिश्चितता अग्रणीरूपेण निर्वहति, संयोगः च तस्याः गुप्तरेखाः कुहूकुहू करोति, तत्र सांख्यिकीः निर्देशकरूपेण उद्भवन्ति, संभाव्यतायाः प्रकाशेन मञ्चं प्रकाशयन्ति अस्मिन् सांख्यिकीय-ओडिसी-मध्ये उद्यमं कुर्वन् स्नातकः इति नाम्ना वयं दत्तांशस्य लिपिं गृह्णामः, अस्माकं प्रत्येकं चालनं नियन्त्रयन्तः यादृच्छिकतायाः गुप्त-संकेतान् व्याख्यातुं सज्जाः |. अस्य नाटकस्य नायिका संभाव्यता एव चक्षुः भवति यस्य माध्यमेन वयं जगतः अप्रत्याशितसिम्फोनी व्याख्यां कुर्मः। कल्पयतु यथा कः मार्गः ग्रहीतव्यः इति न ज्ञात्वा चौराहे स्थितः । संभाव्यता बुद्धिमान् ऋषिः इव प्रत्येकस्य परिणामस्य सम्भावनायाः परिमाणं कृत्वा अस्मान् मार्गदर्शनं करोति । वयं प्रत्येकं पदं पासानां रोलः भवति, न तु दैवस्य, अपितु गणितस्य आकस्मिकस्य । मुद्रां प्लवमानं, कार्डं आकर्षयन्, अथवा मौसमस्य पूर्वानुमानं एव – सर्वे संभाव्यतायाः कैनवासस्य उपरि चित्रिताः सन्ति, तेषां वर्णाः गणितीय-ब्रश-प्रहारैः निर्दिष्टाः सन्ति| परन्तु संभाव्यता न एकैकं सत्ता, केवलं शिलायां उत्कीर्णा संख्या एव। रक्तसेबं धारयन्त्याः निमीलितमुष्ट्याः निरपेक्षनिश्चयात् आरभ्य आकाशे धूमकेतुस्य रेखाप्रवाहस्य क्षणिकसंभावनापर्यन्तं सूक्ष्मतायाः वर्णक्रमे नृत्यति अयं वर्णक्रमः 'कर्म' इति संस्कृत-अवधारणायां प्रतिध्वनिं प्राप्नोति, यत्र क्रियाः भविष्यस्य कैनवासं पूर्वानुमानीय-अप्रत्याशित-आघातैः चित्रयन्ति । सांख्यिकीय-अनुमानं, सांख्यिकीविदस्य साधनपेटी, अस्मान् अस्य वर्णक्रमस्य रहस्यं विमोचयितुं सशक्तं करोति । विनम्रमुद्रा-प्रक्षेपात् आरभ्य जीन-अभिव्यक्ति-जटिल-नृत्यपर्यन्तं वयं अवलोकितानां दत्तांश-सूत्राणां कृते निर्मितानाम् आदर्शानां निर्माणं कुर्मः, यत् अन्तः निगूढानां संभाव्यतानां आकलनं कुर्मः एते आदर्शाः संस्कृतप्रहेलिका इव यादृच्छिकतायाः पटले प्रविष्टानां प्रतिमानां विषये सूचकानि कुहूकुहू कुर्वन्ति । तथापि दैवस्य गूढहस्तवत् संभाव्यता कदाचित् वक्रगोलानि क्षिपति। द्यूतकर्तुः भ्रमः यत्र पूर्वपरिणामानां भविष्यसंभावनासु कोऽपि प्रभावः नास्ति, तत्र अस्मान् स्मारयति यत् संयोगः स्मृतिमार्गः न, अपितु संभावनानां शाश्वतक्रीडाङ्गणः अस्ति तथा च कृष्णहंसः, अस्माकं सुव्यवस्थितमाडलानाम् उपेदनं कुर्वन् अप्रत्याशितघटना अस्मान् उपदिशति यत् जगतः आश्चर्यस्य कौशलम् अस्ति, "यद भविष्यद् भविष्यती" इति संस्कृतवाक्ये गृहीतं सत्यम् – किं भवितुमर्हति, भविष्यति। संभाव्यतायाः केचन अनुप्रयोगाः सन्ति : | संभाव्यता सांख्यिकी, वित्त, अभियांत्रिकी, चिकित्सा इत्यादिषु विविधक्षेत्रेषु अनुप्रयोगं प्राप्नोति । सांख्यिकीशास्त्रे संभाव्यतायाः उपयोगः दत्तांशविश्लेषणार्थं, भविष्यवाणीं कर्तुं, जनसंख्यामापदण्डानां अनुमानार्थं च भवति । वित्तक्षेत्रे निवेशजोखिमानां आकलनाय इष्टतमं पोर्टफोलियोविनियोगं च निर्धारयितुं संभाव्यताप्रतिमानानाम् उपयोगः भवति । अभियांत्रिकीशास्त्रे विश्वसनीयताविश्लेषणे गुणवत्तानियन्त्रणप्रक्रियासु च संभाव्यतायाः उपयोगः भवति । चिकित्साशास्त्रे संभाव्यता नैदानिकपरीक्षणेषु निदानपरीक्षणेषु च सहायकं भवति । परन्तु अनिश्चिततायाः भ्रामकनीहारस्य मध्ये संभाव्यता आशायाः दीपः भवति । अस्मान् जोखिमस्य विश्वासघातकजलं गन्तुं, दुर्भाग्यस्य विरुद्धं बीमासेतुनिर्माणं कर्तुं, अज्ञातस्य सम्मुखे अपि सूचितनिर्णयान् कर्तुं च शक्नोति| अस्मिन् अर्थे संभाव्यता 'धर्म' इति संस्कृत-अवधारणायाः प्रतिध्वनिं करोति, नियन्त्रणस्य निहित-सीमाः स्वीकुर्वन् अस्माकं सफलतायाः सम्भावनाः अनुकूलतां जनयन्तः कार्याणि प्रति अस्मान् मार्गदर्शनं करोति|

संभाव्यतायाः प्रकाराः[सम्पादयतु]

1. शास्त्रीयसंभावना :[सम्पादयतु]

एषः प्रकारः संभाव्यता समानरूपेण सम्भाव्यपरिणामयुक्ते नमूनास्थाने निर्भरं भवति । अनुकूलपरिणामानां संख्यां सम्भाव्यपरिणामानां कुलसङ्ख्यायाः विभाजनेन कस्यापि घटनायाः सम्भावना गण्यते|

2. अनुभवजन्यसंभावना :[सम्पादयतु]

प्रयोगात्मकसंभावना इति अपि ज्ञायते अयं दृष्टिकोणः अवलोकितदत्तांशस्य आधारेण भवति । प्रयोगं कृत्वा अथवा दत्तांशसङ्ग्रहणं कृत्वा अनुकूलपरिणामानां कुलपरीक्षासङ्ख्यायाः अनुपातस्य गणनां कृत्वा कस्यापि घटनायाः सम्भावनायाः अनुमानं भवति|

3. व्यक्तिपरकसंभावना :[सम्पादयतु]

व्यक्तिपरकसंभावना व्यक्तिगतविवेकस्य, विश्वासस्य, मतस्य वा आधारेण भवति । प्रायः ऐतिहासिकदत्तांशस्य अभावे अथवा अनिश्चितघटनानां निवारणे यत्र वस्तुनिष्ठसंभावनाः परिभाषितुं न शक्यन्ते तदा अस्य उपयोगः भवति।

संभाव्यता वितरणम्[सम्पादयतु]

संभाव्यतावितरणं गणितीयकार्यं भवति ये नमूनास्थाने भिन्नपरिणामानां सम्भावनां वर्णनं कुर्वन्ति । अत्यन्तं प्रसिद्धं संभाव्यतावितरणं सामान्यवितरणं भवति, यत् घण्टाकारवक्रस्य अनुसरणं करोति । अन्येषु सामान्यवितरेषु द्विपदवितरणं, पोयसनवितरणं, घातीयवितरणं च सन्ति । एते वितरणाः वास्तविक-जगतः घटनानां प्रतिरूपणं विश्लेषणं च कर्तुं महत्त्वपूर्णां भूमिकां निर्वहन्ति ।

सशर्तसंभावना[सम्पादयतु]

सशर्तसंभावना अन्यघटना पूर्वमेव घटिता इति दृष्ट्वा घटनायाः सम्भावनां मापयति । P(A|B) इति सूचितं भवति, यत्र A, B च द्वौ घटनाौ स्तः । सशर्तसंभाव्यतायाः सूत्रं P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) अस्ति, यत्र P(A ∩ B) A तथा B द्वयोः घटनायोः एकत्र घटितस्य संभाव्यतां प्रतिनिधियति|


प्रक्रिया	सूत्रम्
सशर्तसंभावना	B) = P(A ∩ B) / P(B)

बेयसस्य प्रमेयम्[सम्पादयतु]

बेयस् इत्यस्य प्रमेयम् संभाव्यतासिद्धान्ते सांख्यिकीशास्त्रे च मौलिकः अवधारणा अस्ति । अस्मान् नूतनसाक्ष्याधारितं अस्माकं विश्वासान् वा संभाव्यतां वा अद्यतनीकर्तुं शक्नोति। गणितीयदृष्ट्या P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B) इति व्यक्तं भवति, यत्र P(A|B) इति A घटनायाः सम्भावना यत् B घटना अस्ति इति दृष्ट्वा घटितम्, P(B|A) घटना A घटिता इति दृष्ट्वा B घटनायाः संभाव्यता, P(A) तथा P(B) क्रमशः A तथा B घटनायाः सम्भावनाः सन्ति|


प्रक्रिया	सूत्रम्
बेयसस्य प्रमेयम्	B) = [P(B\|A) * P(A)] / P(B)

संभाव्यता तथा सांख्यिकी[सम्पादयतु]

संभाव्यता, सांख्यिकी च गहनतया परस्परसम्बद्धाः क्षेत्राः सन्ति । संभाव्यतासिद्धान्तः सांख्यिकीय-अनुमानस्य आधारं प्रदाति, यस्मिन् नमूनायाः आधारेण जनसंख्यायाः विषये निष्कर्षं निकासयितुं वा भविष्यवाणीं कर्तुं वा भवति । सांख्यिकी क्रमेण आँकडानां विश्लेषणं कृत्वा मापदण्डानां अनुमानं कृत्वा संभाव्यताप्रतिमानानाम् प्रमाणीकरणे परिष्कारे च सहायकं भवति ।

खिममूल्यांकने अनुप्रयोगाः[सम्पादयतु]

जोखिममूल्यांकने प्रबन्धने च संभाव्यतायाः व्यापकरूपेण उपयोगः भवति । विभिन्नपरिणामानां सम्भावनायाः परिमाणं कृत्वा संभावनाः अनिश्चिततायाः सम्मुखे संस्थानां व्यक्तिनां च सूचितनिर्णयेषु सहायकाः भवन्ति । यथा, बीमायां दुर्घटनानां प्राकृतिकविपदानां वा विशिष्टघटनानां सम्भावनायाः आकलनाय, समुचितप्रीमियमस्य गणनाय च संभाव्यतानां उपयोगः भवति|

यादृच्छिकतायाः जटिलताः[सम्पादयतु]

यादृच्छिकता गूढस्वभावेन सह संभाव्यतासिद्धान्तस्य क्षेत्रे केन्द्रस्थानं धारयति । ब्रह्माण्डस्य पटं व्याप्तं निहितं अप्रत्याशिततां प्रतिनिधियति, यत्र घटनाः विना कस्यापि प्रवेष्टस्य प्रतिमानस्य क्रमस्य वा विस्तारं कुर्वन्ति संभाव्यता सिद्धान्तः यादृच्छिकतायाः अवगमनाय, लक्षणं च कर्तुं एकं शक्तिशालीं रूपरेखां प्रददाति, यत् अस्मान् तस्य जटिलतायाः गभीरतायां गहनतां प्राप्तुं, विविधघटनानां बहुमूल्यं अन्वेषणं प्राप्तुं च समर्थयति संभाव्यतायाः एकं प्रमुखं योगदानं तस्य आकस्मिकप्रक्रियाणां प्रतिरूपणं विश्लेषणं च कर्तुं क्षमता अस्ति । आकस्मिकप्रक्रियाः कालान्तरे विकसितानां तन्त्राणां गणितीयप्रतिपादनानि सन्ति, ये यादृच्छिकं वा संभाव्यतावादीं वा व्यवहारं प्रदर्शयन्ति । एताः प्रक्रियाः उपपरमाणुकणानां व्यवहारात् आरभ्य वित्तीयविपणानाम् गतिशीलतापर्यन्तं विस्तृतपरिधिषु घटनानां अवगमने पूर्वानुमाने च महत्त्वपूर्णां भूमिकां निर्वहन्ति| क्वाण्टम-यान्त्रिकस्य क्षेत्रे संभाव्यता यथार्थस्य मौलिक-प्रकृत्या सह आत्मीयतया सम्बद्धा अस्ति । वर्नर् हाइसेन्बर्ग् इत्यनेन अभिव्यक्तः प्रसिद्धः अनिश्चिततासिद्धान्तः प्रतिपादयति यत् स्थितिः गतिः इत्यादयः केचन भौतिकगुणयुग्मानि युगपत् सटीकरूपेण निर्धारयितुं न शक्यन्ते तस्य स्थाने क्वाण्टम-यान्त्रिकः एतेषां गुणानाम् संभाव्यता-विवरणं ददाति, येन भिन्न-भिन्न-परिणामानां सम्भावनायाः गणनां कर्तुं शक्नुमः । संभाव्यता सा भाषा भवति यस्याः माध्यमेन वयं क्वाण्टमस्तरस्य निहितं यादृच्छिकतां अवगन्तुं अर्थं च ज्ञातुं शक्नुमः। अपि च, अराजकव्यवस्थाः यादृच्छिकतायाः नियतात्मकगतिविज्ञानस्य च जटिलपरस्परक्रियायाः उदाहरणं ददति । अराजकप्रणाल्याः प्रारम्भिकस्थितीनां प्रति अत्यन्तं संवेदनशीलाः भवन्ति, येन कालान्तरे यादृच्छिकः अप्रत्याशितः च दृश्यमानः व्यवहारः भवति ।संभाव्यतासिद्धान्तः एकं चक्षुः प्रदाति यस्य माध्यमेन वयं अराजकव्यवस्थानां अन्तः अन्तर्निहितप्रतिमानानाम् संरचनानां च विश्लेषणं कर्तुं अवगन्तुं च शक्नुमः । संभाव्यतावादीप्रतिमानानाम् गणनानुकरणानाञ्च माध्यमेन वयं अराजकतायाः सीमां अन्वेष्टुं शक्नुमः तथा च यादृच्छिकप्रतीतपरस्परक्रियाभ्यः जटिलव्यवहारस्य उद्भवस्य अन्वेषणं प्राप्तुं शक्नुमः| क्वाण्टम-यान्त्रिकस्य अराजक-प्रणालीनां च क्षेत्रेभ्यः परं संभाव्यता प्रकृतेः वस्त्रस्य तस्याः जटिल-यादृच्छिक-प्रक्रियाणां च बहुमूल्यं अन्वेषणं प्रददाति जनसंख्यायाः अन्तः आनुवंशिकगुणानां वितरणात् आरभ्य मौसमप्रतिमानस्य उतार-चढावपर्यन्तं संभाव्यता अस्मान् विविधपरिणामानां सम्भावनायाः परिमाणं निर्धारयितुं, सूचितपूर्वसूचनाः कर्तुं च शक्नोति|मानवीयप्रयासानां व्यापकसन्दर्भे यादृच्छिकता संभाव्यता च अस्माकं जोखिमस्य अनिश्चिततायाः च अवगमनं आकारयन्ति । ते वित्त, बीमा, द्यूत इत्यादिषु क्षेत्रेषु निर्णयप्रक्रियासु प्रभावं कुर्वन्ति । संभाव्यताप्रतिमानानाम् उपयोगेन वयं सम्भाव्यपरिणामानां तत्सम्बद्धानां संभाव्यतानां च आकलनं कर्तुं शक्नुमः, येन अनिश्चितस्थितीनां मार्गदर्शनं कर्तुं, सूचितविकल्पं च कर्तुं शक्नुमः| यादृच्छिकतायाः अध्ययनं सांख्यिकी, यन्त्रशिक्षणादिक्षेत्रेषु अपि विस्तृतं भवति । संभाव्यतावितरणं सांख्यिकीयअनुमानं च अनिश्चिततायाः उपस्थितौ दत्तांशविश्लेषणार्थं, निष्कर्षं निकासयितुं, भविष्यवाणीं कर्तुं च शक्तिशालिनः साधनानि प्रददति यन्त्रशिक्षण एल्गोरिदम् जटिलदत्तांशप्रतिमानानाम् अर्थं ज्ञातुं संभाव्यतावादीप्रतिमानानाम् उपयोगं कुर्वन्ति तथा च संभाव्यतावादीतर्कस्य आधारेण सूचितनिर्णयान् कुर्वन्ति ।यादृच्छिकतायाः जटिलताः संभाव्यतासिद्धान्तस्य आधारं निर्मान्ति । संभाव्यता अस्मान् परितः यत् निहितं अप्रत्याशितम् अस्ति तत् अवगन्तुं लक्षणं च कर्तुं सशक्तं करोति, आकस्मिकप्रक्रियाणां प्रतिरूपणं, विश्लेषणं, अर्थं च प्रदातुं एकं रूपरेखां प्रदाति| क्वाण्टमक्षेत्रात् अराजकप्रणालीपर्यन्तं, आनुवंशिकीतः मौसमपूर्वसूचनापर्यन्तं, सांख्यिकीतः यन्त्रशिक्षणपर्यन्तं च संभाव्यता क्रमस्य यादृच्छिकतायाः च आकर्षकं अन्तरक्रियां प्रकाशयति, अस्माकं ब्रह्माण्डस्य मौलिकप्रकृतेः अन्वेषणं प्रदाति संभाव्यतायाः चक्षुषा एव वयं वास्तविकतायाः अनिश्चितभूभागं गत्वा अस्तित्वस्य यादृच्छिकप्रतीतस्य टेपेस्ट्री-मध्ये गुप्तप्रतिमान् उद्घाटयितुं शक्नुमः|

एक संशोधनमूलक अध्ययन[सम्पादयतु]

संभाव्यतावितरणेषु एकः स्केल-मापदण्डः वितरणस्य प्रसारं परिवर्तनशीलतां वा निर्धारयति । यदा स्केल-मापदण्डः समायोजितः भवति तदा सकारात्मक-समर्थन-संभाव्यता-वितरणस्य उपरि तस्य निम्नलिखित-प्रभावाः भवितुम् अर्हन्ति :

प्रसारणस्य वृद्धिः न्यूनता वा : स्केल-मापदण्डस्य वर्धनेन वितरणं विस्तृतं भवति, यस्य परिणामेण मूल्यानां अधिकं प्रसारः अथवा प्रसारः भवति । तद्विपरीतम्, स्केल-मापदण्डस्य न्यूनीकरणेन वितरणं संकुचितं भवति, येन लघुतरं प्रसारणं भवति ।
स्थाने परिवर्तनम् : स्केल पैरामीटर् समायोजनेन वितरणस्य केन्द्रे अथवा स्थाने परिवर्तनं अपि भवितुम् अर्हति ।स्केल पैरामीटर् वर्धनेन वितरणं उच्चमूल्यानां प्रति स्थानान्तरणं भवति, यदा तु न्यूनीकरणेन वितरणं निम्नमूल्यानां प्रति स्थानान्तरणं भवति ।
आकारे परिवर्तनम् : केषुचित् वितरणेषु, यथा गामावितरणं वा वेइबुलवितरणं वा, स्केलपैरामीटर् वितरणस्य आकारं प्रभावितुं शक्नोति । स्केल-मापदण्डस्य वर्धनेन न्यूनीकरणेन वा विशिष्टवितरणस्य आधारेण वितरणं अधिकं तिर्यक् वा सममितं वा भवितुम् अर्हति ।

निगमन[सम्पादयतु]

उपसंहारः, संभाव्यतायाः जगति गहनतां गच्छन् सांख्यिकीयछात्रस्य यात्रा केवलं संख्यानां क्रन्चिंग्, आलेखानां आकर्षणं च न भवति ।यदृच्छया नृत्यं आलिंगयितुं, अनिश्चिततायाः कुहूकुहूनां परिमाणं कर्तुं, तर्केन, संयोगस्य च चुटकीया च जीवनस्य भव्यमञ्चं मार्गदर्शनं कर्तुं च शिक्षितुं विषयः अस्ति अन्ते हि संभाव्यता अस्माकं प्रत्येकं चालनं निर्दिशति अत्याचारी न, अपितु संभावनाः कुहूकुहू कुर्वन् म्यूजः, अस्मान् स्मारयति यत् कदाचित्, सुन्दरतमाः कथाः यदृच्छया मसिना लिख्यन्ते।

सन्दर्भाः[सम्पादयतु]

^[१] ^[२] ^[३] ^[४] ^[५]