माध्य
अयं लेखः सांख्यिकीयसंकल्पनायाः विषये अस्ति |
सांख्यिकी तथा संभाव्यता सिद्धान्ते, माध्यिका दत्तांशनमूनायाः, जनसंख्यायाः, संभाव्यतावितरणस्य वा अधः अर्धभागात् उच्चतरं अर्धं पृथक् कुर्वन् मूल्यं भवति | दत्तांशसमूहस्य कृते "मध्यम" मूल्यं इति चिन्तनीयम् । मध्यमस्य तुलने दत्तांशस्य वर्णने मध्यमस्य मूलभूतं वैशिष्ट्यम् (प्रायः केवलं "सरासरी" इति वर्णितम्) अत्यन्तबृहत्-लघु-मूल्यानां अल्प-अनुपातेन न तिर्यक् भवति इति, अतः "विशिष्टस्य" मूल्यस्य उत्तमं प्रतिनिधित्वं प्रदाति इति | उदाहरणार्थं मध्यमा आयः "विशिष्ट" आयः किम् इति सूचयितुं उत्तमः उपायः भवितुम् अर्हति, यतः आयवितरणं अतीव तिर्यक् भवितुम् अर्हति ।
औपचारिकरूपेण जनसंख्यायाः माध्यिका एतादृशं किमपि मूल्यं भवति यत् न्यूनातिन्यूनं आर्धं जनसंख्या प्रस्तावितमध्यमात् न्यूनं वा समानं वा भवति तथा च न्यूनातिन्यूनं आर्धं प्रस्तावितमध्यमात् अधिकं वा समानं वा भवति | माध्यिकाः अद्वितीयाः न भवेयुः। मध्यमः कस्यापि क्रमबद्धस्य (एकविमीयस्य) दत्तांशस्य कृते सुनिर्दिष्टः भवति, तथा च कस्यापि दूरमापकस्य स्वतन्त्रः भवति ।
मध्यमं स्थानस्य मापरूपेण उपयोक्तुं शक्यते यदा कश्चन चरममूल्यानां न्यूनीकृतं महत्त्वं ददाति, सामान्यतया यतोहि वितरणं तिर्यक् भवति, चरममूल्यानि न ज्ञायन्ते, अथवा बहिर्मुखाः अविश्वसनीयाः सन्ति, अर्थात् मापन/प्रतिलेखनदोषाः भवितुम् अर्हन्ति |
यथा बहुसमूह१, २, २, २, ३, १४ इति विचार्यताम् । अस्मिन् सति मध्यमः २ | यतो हि माध्यिका समुच्चये मध्यमदत्तांशस्य आधारेण भवति, तस्मात् तस्य गणनाय अत्यन्तपरिणामानां मूल्यं ज्ञातुं आवश्यकं नास्ति । यथा, समस्यायाः समाधानार्थं आवश्यकसमयस्य अन्वेषणं कुर्वन्तः मनोविज्ञानपरीक्षायां यदि अल्पसंख्याकाः जनाः दत्तसमये समस्यायाः समाधानं सर्वथा कर्तुं असफलाः अभवन् तर्हि अद्यापि मध्यमा गणयितुं शक्यते |
कतिपयप्रकारस्य वितरणस्य माध्यिकाः तेषां मापदण्डात् सुलभतया गणयितुं शक्यन्ते;
-> सममितस्य एकविधवितरणस्य माध्यिका गुणेन सह सङ्गच्छते ।
-> सममितवितरणस्य माध्यिका यस्य मध्यमं μ भवति सः अपि μ इति मूल्यं गृह्णाति ।
-> स्थानपैरामीटर् x0 तथा स्केल पैरामीटर् y युक्तस्य Cauchy वितरणस्य माध्यिका x0, स्थानमापदण्डः भवति ।